Geometri & simetri

geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Ada tiga jenis operasi simetri utama yaitu refleksi (pencerminan), rotasi dan translasi.

• Refleksi (pencerminan) adalah operasi mencerminkan objek pada sebuah garis sebagai bidang cermin.
• Rotasi adalah operasi merotasi objek dengan titik sebagai pusat. Contohnya, segitiga sama sisi memiliki simetri rotasi dengan sudut rotasi 120 derajat.
• Translasi adalah operasi mentranformasi objek dari satu daerah ke daerah lain dengan sebuah vektor. Simetri-simetri yang lebih rumit merupakan kombinasi dari operasi-operasi ini. Simetri banyak dipakai dalam berbagai disiplin pengetahuan seperti geometri, matematika, fisika, biologi, kimia, seni dan sebagainya.

Meskipun ada dua objek dengan kemiripan yang tinggi muncul bersamaan, keduanya harusnya berbeda. Contohnya, jika rotasi sebuah segitiga sama sisi terhadap pusatnya sebesar 120 derajat, segitiga tersebut akan muncul mirip seperti sebelum dilakukan rotasi. Dalam Geometri Euklidean, rotasi tersebut mengakibatkan perubahan yang tidak dikenali. Pada kenyataannya, tiap sudut pada segitiga sama sisi yang dijadikan model molekul akan memunculkan perilaku simetri yang berbeda.

[sunting] Simetri di geometri

Objek dengan simetri terbanyak adalah ruang kosong karena tiap bagian dapat dirotasi, direfleksi atau ditranslasi tanpa muncul perubahan.

Jenis simetri yang paling umum adalah simetri kiri-kanan atau gambar cermin yang di simbolkan dengan T:. simbol ini digunakan untuk merefleksikan sepanjang sumbu vertikal.

Segitiga sama sisi menunjukkan simetri refleksi sebanyak tiga sumbu, dan sebuah simetri rotasi. Jika segitiga ini dirotasikan terhadap pusat segitiga sebesar 120 atau 240 derajat tidak akan menunjukkan perubahan. Objek yang hanya menunjukkan perilaku simetri rotasi tapi tidak memiliki simetri refleksi adalah swastika.

Contoh simetri translasi adalah:

 wikipedia
 wikipedia
   wikipedia
     wikipedia

(kemiripan diperoleh dengan menggeser satu baris ke bawah dan dua spasi ke kanan), dan simetri translasi dua bentuk:

 * |* |* |* |
|* |* |* |*
|* |* |* |*
* |* |* |* |
|* |* |* |*
|* |* |* |*

(kemiripan diperoleh dengan menggeser tiga posisi ke kanan, atau satu baris ke bawah dan dua posisi ke kanan; hingga diperoleh kesamaan untuk tiga baris ke bawah).

Pada kedua kasus diatas adalah bukan simetri gambar-cermin maupun simetri rotasi.

Felix Klein, ahli geometri Jerman, memberikan pernyataan yang sangat berpengaruh dalam Erlangen programme di tahun 1872, simetri sebagai gabungan dan organisasi prinsip dalam geometri. Ini memunculkan perhatian baru grup (matematika) dalam geometri dan slogan tranformasi geometri (salah satu aspek pada Matematika baru, tapi sangat kontroversi di praktek-praktek matematika modern).

Sebuah fraktal, seperti yang dikonsepkan Mandelbrot, yang memiliki simetri termasuk memiliki skala. Contohnya, sebuah segitiga sama sisi dapat menyusut dengan ukuran satu per tiga dari asalnya sebanyak tiga buah. Segitiga yang lebih kecil ini dapat dirotasi di pusat garis dari segitiga yang lebih besar dan ditranslasi hingga mereka berhimpitan. Segitiga yang lebih kecil dapat mengulang proses tersebut, menghasilkan segitiga yang lebih kecil sisi-sisinya. Stuktur ke dalam segitiga dapat diciptakan dengan mengulang skala operasi simetri beberapa kali.

Simetri di matematika

Sebuah contoh dari matematika yang mengekspresikan simetri adalah a²c + 3ab + b²c. Jika a dan b diubah, ekspresi menunjukkan tiada perubahan pada sifat komutatif untuk perjumlahan dan perkalian.

Dalam matematika, suatu studi simetri dari objek dengan mengumpulkan semua operasi yang mengakibatkan objek tidak berubah. Operasi-operasi ini membentuk grup. Untuk objek geometri, diketahui sebagai grup simetri; untuk objek aljabar, digunakan term grup automorphism.

Faktanya, akhir abad 20, grup merupakan sinonim dari transformasi grup (con: aksi grup). Hanya selama awal abad 20 saja definisi grup tanpa referensi aksi grup.

Simetri di logika

Sebuah hubungan diadic R adalah simetri jika dan jika, ketika benar untuk Rab, benar untuk Rba. Kata-kata seumur dengan adalah simetri, untuk jika Paul seumur dengan Mary, maka Mary seumur dengan Paul.

Generalisasi simetri

Jika kita memiliki himpunan objek dengan beberapa struktur, maka sangat mungkin untuk sebuah simetri untuk mengkonversi datu objek ke bentuk lain. Maka diutuhkan generalisasi dari konsep grup simetri ke sebuah groupoid.

Fisikawan menggunakan generalisasi seperti supersimetri dan grup quantum.

Simetri di fisika

Generalisasi simetri dalam fisika hingga ke invarian dibawah berbagai jenis transformasi telah menjadi salah satu alat dalam fisika teori. Lihat teorema Noether (yang mana, sebagai oversimplifikasi, keadaan bahwa untuk tiap hukum simetri, terdapat sebuah hukum kekekalan) untuk penjelasan. Teori Grup telah menjadi salah satu area di matematika yang paling banyak dipelajari fisikawan; simetri dari transformasi grup simetri banyak menjelaskan topik mengenai fisika partikel(contohnya, gabungan elektromagnetik dan gaya lemah) dan kosmologi.